大同高斯專賣店

A. 高斯-約旦消去法

同學，高斯-約旦消去法我只知道可以用來求逆矩陣，還有解方程組，怎麼會用來兩矩陣相乘，矩陣相乘直接行於列相乘相加就是
下面是求逆矩陣：（地址）
http://blog.sina.com.cn/u/4190406301000693
下面是解方程組：
在高中的時候，我們就學過解二元一次聯立方程式，如有名的雞兔同籠問題：
雞和兔子共10隻關在一個籠子里，它們共有26隻腳，問雞和兔子各有幾只？
由此我們可列出如下之方程式
設雞有X只 兔子有Y只 由條件可知
X + Y=10
2X+4Y=26
我們可以使用代入法或消去法解出a和b，也就是雞和兔子的數量。若學過行列式的也可使用行列式求解。
以上所述的二元一次聯立方程式只是線性方程組的一個特例，我們只要使用簡單的數學方法便可求出正解。而一個一般的線性聯立方程組具有以下形式：
a11 x1+ a12 x2+……a1n xn=b1
a21 x1+ a22 x2+……a2n xn=b2
：
am1 x1+ am2 x2+……amn xn=bm
其中，m、n為自然數，此為n元一次m式聯立方程式。
一般用以求解的方法，稱為高斯消去法，也有人稱為高斯-約旦消去法，此為一種有系統的加減消去法，其中須引進矩陣的觀念：
將雞兔同籠的例子改用矩陣表示即為
1 1 10
2 4 26
而矩陣的基本運算有三種，且其皆不會改變方程式最後的答案，
1. 某兩列互換
1 1 10 和 2 4 26 的解不會改變
2 4 26 1 1 10
2. 某一列乘以一個不為零的數
1 1 10 和 3 3 30 的解亦相同
2 4 26 2 4 26
3. 某一列乘以一個數再加到另一列
1 1 10 3 3 30 3 3 30
2 4 26 2 4 26 5 7 56
故可連續作以上運算亦不改變解答。所以雞兔同籠的解，
1 1 10 將第一列乘上(-2) 1 1 10 第二列乘以(1/2)
2 4 26 加到第二列 0 2 6

1 1 10 將第二列乘上(-1) 1 0 7
0 1 3 加到第一列 0 1 3

我們便解得：雞有7隻 兔子有3隻。
以上使用的方法即為高斯消去法。高斯消去法可分為兩個部分：
1. 簡化矩陣
a.逐列將每一列第一個不為0的數，根據基本運算之第二條，將其變成1
b.根據基本運算之第三條，將這個1所在那一行的其他數都變成0
2. 求解
a. 若某一列除最後一元外皆為0，則無解
b. b.若有解，逐列取最左邊且系數為1之未知數，其餘項移至等號右邊
另一種方法是只消除下三角矩陣，將求得的一解反向取代求出剩餘得解，其實是大同小異。而我們了解了矩陣的基本運算和高斯消去法後，就可以自己動手寫一支解聯立方程組的程式啦!!
大部分找得到的介紹高斯消去法的書，都是以M*M的矩陣為範例。因為大家都知道的，有幾個未知數就要有幾個方程式才能求出解，多了有可能無解，少了就得用參數式表示

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